Высокое быстродействие имитационного эксперимента в компилирующем режиме достигается применением оптимизированной схемы вычислений, в которой практически отсутствуют многократно повторяющиеся на каждом шаге дискретизации процессов операции. Это обусловлено использованием символьно-численных методов интегрирования дифференциальных уравнений.
Процесс предварительного формирования оптимизированной схемы или дерева вычислений выполняется в два этапа.
Будем считать, что в результате выполнения каждого этапа должна быть построена и записана в матричной форме модель исследуемой системы, а именно, по результатам первого этапа - АМСМ_1, а по результатам второго этапа - АМСМ_2.
Дискретная модель интегратора полностью определяется формулой метода численного интегрирования. Для неявных методов [10], которые преимущественно используются для формирования алгебраических моделей, схема дискретного интегратора конструируется в соответствии с конечно разностным выражением вида:
(7.1)
и имеет вид, приведенный на рис. 7.1.
x(n+1), u(n+1) - сигналы на выходе и входе дискретного интегратора в (n+1)-й момент времени, kh - коэффициент метода интегрирования, xu(n) - обобщенная предыстория входных и выходных сигналов, определяется методом численного интегрирования.
Схемы дискретных интеграторов для многошаговых методов численного интегрирования Гира 2, 3 и 4 порядков и соответствующее им матрично-структурное представление приведены в таблице 7.1. МСП дискретной модели интегратора, представляющее собой строку Z, размер которой определяется порядком используемого метода интегрирования, будем считать элементарной ячейкой АМСМ первого уровня. То есть
Формирование дерева вычислений путем преобразования детализированного графа исследуемой системы в целом неэффективно, так как сопряжено с необходимостью обработки значительного числа замкнутых контуров. Это объясняется тем, детализация большинства динамических звеньев приводит к появлению в схеме дополнительных контуров, а следовательно к увеличению числа операций, необходимых для формирования дерева вычислений.
| Порядок | Граф-схема | Структурная матрица |
| 2 |  |
 |
| 3 |  |
 |
| 4 |  |
 |
Поэтому оказывается целесообразным предварительное формирование разомкнутых алгоритмических имитационных моделей и соответствующих им структурных матриц для типовых динамических звеньев. Использование полученных матриц для конструирования АМСМ_1 позволяет тем самым исключить все возможные случаи увеличения числа контуров замкнутой алгебраической модели. А в тех случаях, когда нет необходимости в регистрации выходных сигналов отдельных элементов, будет целесообразным применение дополнительных преобразований модели в направлении увеличения порядка динамических элементов.
Пример формирования матрично-структурный моделей для апериодического звена приведен на рис. 7.2.
Элементарной ячейкой АМСМ второго уровня Ri будем считать МСП разомкнутой алгоритмической модели динамического звена.
Дальнейшее сокращение числа контуров достигается при использовании блочного принципа конструирования дерева вычислений. В этом случае для каждого функционального блока должна быть построена и занесена в базу моделей АМСМ_2. Для систем средней сложности число вычислительных операций сокращается при этом не менее чем на порядок.
Процесс блочного построения АМСМ_2 рассмотрим на примере линеаризованной модели электромеханического объекта, рассмотренной в лекции 6, используя дискретные интеграторы Гира 2-го порядка.
После замены непрерывных интеграторов их дискретными аналогами получаем АМСМ_1 для функциональных блоков. На рис. 7.3 такая модель приведена для ФБ двигатель.
В результате преобразования АМСМ_1, которое может быть выполнено прямым методом с использованием формулы Мейсона, дерево вычислений и соответствующая ему АМСМ_2 для ФБ двигатель приведена на рис. 7.4.
Применение полученных результатов приводит к тому, что замкнутый N-граф модели электромеханического объекта (рис. 7.5) содержит только два контура.
Для формирования АМСМ_2 электромеханического объекта необходимо исключить указанные контуры. Эта операция выполняется прямым методом преобразования графа в дерево вычислений c использованием формулы Мейсона. Результат этих преобразований приведен на рис. 7.6. Здесь выражения для новых коэффициентов передач ветвей с учетом параметров АМСМ_1, приведенных на рис. 7.5, имеют следующий вид.
Сформулируем формальные правила блочного конструирования АМСМ сложных исследуемых систем. Предварительно отметим, что АМСМ_1 и АМСМ_2 как для отдельного элемента, так и для системы в целом имеют единую форму прямоугольной матрицы.
(7.2)
Матрица SA условно может быть разделена на три блока: квадратную подматрицу связей QA размером q ґ q, прямоугольную подматрицу внешних воздействий VA размером q ґ r и прямоугольную подматрицу входов предысторий дискретных интеграторов EA размером q ґ qn. Здесь число строк q матрицы SA соответствует числу строк матрицы S, отображающей МСП детализированного графа исследуемой системы, число столбцов r подматрицы VA определяется числом входных каналов, а число столбцов qn = n pm. подматрицы EA определяется числом интеграторов n в исходном детализированном графе и выбранным порядком метода интегрирования pm.
Таким образом, число строк матрицы SA совпадает с числом строк матрицы S.
Введем следующие обозначения. АМСМ_1 и АМСМ_2 отдельного функционального элемента будем обозначать соответственно, как
(7.3)
где i - порядковый номер функционального элемента. Алгебраические матрично-структурные модели исследуемой системы в целом обозначим
(7.4)
Если допустить, что концептуальная модель исследуемой системы построена в виде схемы соединения функциональных блоков, и для каждого из этих элементов путем обработки информации из базы моделей сформированаАМСМ_2, то алгоритм конструирования АМСМ_1 системы в целом можно представить в виде последовательного выполнения следующих операций.
для i =1, 2, ... , w, где w - число функциональных элементов концептуальной модели, выполняется первоначальное заполнение матрицы
, т.е.
(7.5)
и формирование строки взаимосвязи
(7.6)
и схемы соединения функциональных элементов определяется местоположение столбцов подматрицы входов
и подматрицы предысторий
каждого i-го элемента на матричной сетке
.
,
копируется в ячейки матрицы
, расположенные на пересечении строк, соответствующих подматрице
и столбцов, номера которых определены в п. 2. размером q(m) ґ qZ. Здесь
(7.7)
Анализ предложенного алгоритма показывает, что для его реализации не требуется создания дополнительных вычислительных процедур, так как он практически повторяет алгоритм конструирования МСП КМ нижнего уровня.
На этапе преобразования АМСМ_1 в АМСМ_2 выполняется топологический анализ матрицы
с целью поиска и исключения всех возможных сочетаний замкнутых контуров и перерасчет значений коэффициентов ветвей, входящих в прямые пути передачи сигналов от входных воздействий, выходных сигналов и обобщенных предысторий i-го дискретного интегратора к входу j-го дискретного интегратора. Формально это соответствует операции преобразования подматрицы
в треугольную матрицу
и операции перерасчета коэффициентов матричных блоков
,
, по результатам которого формируется подматрицы
,
. Для выполнения указанной операции разработан универсальный алгоритм, позволяющий преобразовать матрично-структурное представление графа с контурами произвольной формы в матрично струтурное представление дерева вычислений, который будет рассмотрен в следующей лекции.
Такое преобразование моделей, выполняемое на матричной сетке, будем называть M2-преобразованием, то есть
(7.8)
Следует отметить, что M2-преобразование не изменяет размер структурной матрицы, а сопровождается изменением значений отдельных коэффициентов.
Очевидно, что предложенные методы и алгоритмы конструирования АМСМ_1 и АМСМ_2 для сложных систем могут быть использованы:
Это обстоятельство, позволяет в большинстве случаев отказаться от предварительного "ручного" формирования и последующего включения в базу моделей АМСМ_2 функциональных элементов. В этом случае виртуальное присутствие АМСМ_2 элемента. То есть в базе моделей хранится МСП детализированного графа функционального элемента, а при запросе АМСМ_2 для этого элемента выполняется ее автоматическое формирование при использовании значений заданных параметров.