Лекция 8

Ориентированные графы систем автоматического управления

Математическую модель САУ можно наглядно представить с помощью ориентированных графов (орграфов).

Орграфы используются в сложных САУ, особенно при управлении и автоматизации технологических процессов в промышленности, когда описание в виде структурных схем становится громоздким и сложным для восприятия. Рассмотрим простейший орграф динамического звена САУ.

Рис. 1

Орграфом САУ является графическое представление САУ в виде совокупности вершин, соответствующих переменным, и дуг, соединяющих вершины.

Рассмотрим основные свойства орграфа:

Каждая дуга со стрелкой, указывающей направление распространения сигнала, изображает звено и характеризуется оператором изображаемого звена (передаточной функцией);
Каждой вершине, отмеченной кружком, ставится в соответствие одна из переменных САУ (изображение переменной по Лапласу);
Входная величина дуги равна переменной вершины, из которой эта дуга исходит;
Выходная величина дуги получается как результат преобразования оператором входной величины;
Если к вершине подходят несколько дуг, то соответствующая вершине переменная равна сумме выходных величин этих дуг (аналог суммирующего звена структурных схем);
Если из вершины исходит несколько дуг, то входные величины всех этих дуг одинаковы (аналог точки ветвления в структурных схемах).

Ориентированный граф (орграф) можно построить по структурной схеме и наоборот. При построении орграфа по структурной схеме необходимо придерживаться следующих правил:

Модифицируют структурную схему так, чтобы в сумматорах все переменные складывались с положительным знаком, отрицательные знаки вносятся в передаточные функции соответствующих звеньев;
Каждый сумматор структурной схемы заменяется вершиной, которой ставится в соответствие выходная переменная сумматора;
Каждое динамическое звено заменяется дугой с оператором, равным передаточной функции звена;
Каждой переменной, включая и входные воздействия, соответствует своя вершина.

Рассмотрим пример. На рис. 2 показана структурная исходная схема, на рис. 3 показан полученный орграф САУ.

Рис. 2

Рис. 3

Преобразовать орграф САУ можно, как и структурную схему, используя правила эквивалентных преобразований для орграфов, которые легко могут быть получены по аналогичным правилам для структурных схем.

Последовательное соединение динамических звеньев.

Параллельное соединение динамических звеньев.

Замкнутый контур с отрицательной обратной связью.

Замкнутый контур с положительной обратной связью.

Перенос точки ветвления через динамическое звено.

Перенос суммирующего звена через динамическое звено.

Использование формулы Мейсона для преобразования структурных схем и ориентированных графов

Когда структурная схема преобразована в орграф, для нахождения необходимой передаточной функции можно использовать формулу Мейсона (правило некасающихся контуров), которая позволяет получить передаточную функцию, связывающую переменные в сложных, многоконтурных САУ.

Рассмотрим общий вид формулы и поясним ее компоненты:

(1)

где - передаточная функция -го отдельного прямого пути от до , вычисленная как произведение передаточных функций дуг, входящих в этот путь;

- определитель орграфа.

(2)

где - передаточная функция -го замкнутого контура, вычисленная как произведение передаточных функций дуг, входящих в этот контур;

- произведение передаточных функций пары (-го и -го) замкнутых контуров, не касающихся ни дугами, ни вершинами, суммирование осуществляется по всем парам некасающихся контуров;

- произведение тройки (-го, -го и -го) некасающихся контуров, суммирование производится по всем тройкам не касающихся контуров.

- определитель орграфа, полученного при удалении дуг и вершин -го отдельного прямого пути, определяется по формуле (2).

Поясним использование формулы Мейсона.

В начале выявляются все отдельные прямые пути между входной и выходной переменными, для которых необходимо определить передаточную функцию. Отдельным прямым путем считается такая последовательность дуг и вершин, которая соединяет вершины, соответствующие входному и выходному сигналам. При этом отдельный прямой путь не должен пересекать в вершинах сам себя.

Далее выявляются все замкнутые контуры в орграфе САУ. Замкнутым считается такой контур, когда между двумя вершинами имеется как прямая, так и обратная связь. Передаточная функция замкнутого контура определяется как произведение передаточных функций всех дуг, входящих в контур с учетом знаков.

После того как выявлены все замкнутые контуры орграфа, необходимо проанализировать – есть ли контуры, которые не касаются ни дугами, ни вершинами, есть ли пары, тройки и т. д. таких контуров.

На основании полученного формируется определитель орграфа по формуле (2).

Определители орграфов, полученных после изъятия -х отдельных прямых путей, также формируются по формуле (2), при этом учитываются только те контуры, которые остаются после изъятия -го прямого пути. Если после изъятия прямого пути не остается ни одного замкнутого контура, определитель такого орграфа принимается равным единице.

В качестве примера определим передаточную функцию между и в структурной схеме САУ, показанной на рис. 4, полагая в соответствии с принципом суперпозиции .

Рис. 4

Преобразуем структурную схему в ориентированный граф (рис. 5).

Рис. 5

Определим прямые пути:

Определим замкнутые контуры:

Все контуры имеют общую дугу , поэтому некасающихся контуров нет. Определитель орграфа имеет вид

При изъятии 1-го или 2-го прямых путей в орграфе не сохраняется ни одного замкнутого контура, поэтому

Передаточная функция имеет вид

Контрольные вопросы и задачи

Дайте определение орграфа динамического звена.
Поясните процедуру преобразования структурной схемы САУ в ориентированный граф.
Что называется отдельным прямым путем при использовании правила некасающихся контуров?
Какие замкнутые контуры называют некасающимися?
Определите передаточную функцию