Лекция 4

Частотные характеристики динамического звена

Частотной характеристикой динамического звена называют функцию комплексного аргумента , полученную путем формальной замены на в выражении передаточной функции

Получим связь частотной характеристики с известными понятиями. Для этого рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией и сигналами , . Пусть , – абсолютно интегрируемые функции и равны нулю при . Тогда частотные спектры этих сигналов (преобразование Фурье) этих функций можно определить следующим образом –

.

Получим отношение спектров

.

Таким образом, частотную характеристику динамического звена можно определить как отношение спектра (преобразования Фурье) выходного сигнала к спектру входного сигнала.

Знание частотной характеристики звена позволяет определить выходной спектр по входному

.

Рассмотрим динамическое звено –

Рис. 1

Получим спектр выходного сигнала – импульсной характеристики

.

Тогда имеем

,

то есть преобразование Фурье от импульсной характеристики равно частотной характеристике динамического звена.

Частотная функция характеристика как функция комплексного аргумента может быть представлена в следующем виде –

где  – действительная (вещественная) часть ,

– мнимая часть ,

– модуль (амплитуда) ,

– фаза аргумент .

Амплитуда, фаза, действительная и мнимая части частотной характеристики являются функциями частоты, поэтому частотная характеристика используется и графически представляется в виде амплитудно-фазовой, действительной, мнимой, амплитудной и фазовой частотных характеристик.

В теории автоматического управления рассматривают и используют следующие частотные характеристики динамических звеньев:

1. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) –

.

2. Фазочастотная характеристика (ФЧХ) –

.

3. Вещественная частотная характеристика (ВЧХ) –

.

4. Мнимая частотная характеристика (МЧХ) –

.

5. Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ), которая определяется как годограф (след движения конца) вектора , построенный на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до .

На рис. 2 покажем частотные характеристики некоторого динамического звена.

Рис. 2

Для выяснения физического смысла частотной характеристики рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией и импульсной характеристикой , на вход которого подаем гармонический сигнал .

Рис. 3

Вспомним, что решение линейного дифференциального уравнения динамического звена, в рамках классического метода, состоит из двух составляющих – свободной и установившейся.

Установившаяся составляющая в случае гармонической функции времени, стоящей в правой части уравнения, так же является гармонической функцией времени. Поэтом установившийся сигнал на выходе динамического звена можно описать следующим выражением

.

Сигнал на выходе звена определим с помощью теоремы об умножении изображений

В результате получаем

.

Для перехода к установившемуся режиму полагаем , тогда получаем

.

Но, с другой стороны, имеем по определению прямого преобразования Фурье

.

Поэтому

.

Отсюда следует простой алгоритм экспериментального определения частотной характеристики линейного динамического звена, объекта или системы управления для конкретной частоты :

1. Подать на вход объекта синусоидальный сигнал частоты и постоянной амплитуды.

2. Дождаться затухания свободной составляющей переходного процесса.

3. Измерить амплитуду выходного сигнала и сдвиг его по фазе относительно входного сигнала.

4. Отношение амплитуды выходного установившегося сигнала к амплитуде входного сигнала определит модуль частотной характеристики при частоте .

5. Сдвиг фазы выходного сигнала относительно входного сигнала определит угол (аргумент) частотной характеристики при частоте .

Применяя данный алгоритм для частот от нуля до бесконечности, можно экспериментальным путем определить частотную характеристику конкретного устройства. Функциональная схема экспериментальной установки для снятия частотных характеристик имеет вид

Рис. 4

При частоте на экране осциллографа получаем после затухания свободной составляющей следующую картину –

Рис. 5

На основании рис. 5 можно построить на комплексной плоскости точку, принадлежащую частотной характеристике устройства, а совокупность точек при изменении частоты от нуля до величины, когда амплитуда выходного установившегося сигнала станет пренебрежимо мала, будет представлять собой амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ). Как видно из рисунка, по этим данным может быть построена любая необходимая частотная характеристика устройства.

Рис. 6

Для экспериментального получения частотных характеристик различных объектов в инженерной практике используют специализированные приборы, а в последнее время широко используют для таких целей персональные компьютеры, оснащенные специализированными платами ввода-вывода и пакетами прикладных программ.

Учитывая все вышеизложенное, становится ясным и физический смысл частотной характеристики.

Она показывает, во сколько раз изменяет динамическое звено (устройство), работающее в установившемся режиме, амплитуду входной синусоиды частоты , и на какой угол сдвигает входную синусоиду по фазе.

Контрольные вопросы и задачи

1. Как определить частотную характеристику динамического звена, если известна его передаточная функция?

2. Какие виды частотных характеристик вы знаете?

3. Как определить амплитуду и аргумент частотной характеристики?

4. Перечислите основные этапы экспериментального снятия частотной характеристики устройства.

5. Поясните физический смысл частотной характеристики линейного динамического звена.

6. Определите выражение частотной характеристики по заданной передаточной функции

.

Ответ:

.

7. Определите выражение частотной характеристики по заданной передаточной функции

.

Ответ:

.

8. Определите выражения амплитудной и фазовой частотных характеристик для динамического звена с передаточной функцией –

.

Ответ:

.

9. На вход динамического звена с передаточной функцией

,

поступает гармонический сигнал постоянной амплитуды с частотой

.

На какой угол будет смещен выходной сигнал в установившемся режиме?

Ответ: