Лекция 20

Корневые критерии качества переходных процессов

Эта группа критериев основана на оценке качества переходных процессов по значениям полюсов и нулей передаточной функции системы между интересующими нас входами и выходами системы.

Как известна, переходная характеристика системы может быть определена следующим образом –

где – корни характеристического уравнения системы

.

Очевидно, что на характер переходного процесса оказывает влияние и числитель и знаменатель передаточной функции. Но, в большинстве случаев, при анализе систем по реакции на управляющее воздействие, не имеет корней, то есть передаточная функция не имеет нулей. Тогда характер переходного процесса можно оценить только по полюсам передаточной функции, подвергая тем самым анализу корни характеристического уравнения системы –

В случае приближенной оценки качества по корням характеристического уравнения на комплексной плоскости выделяют область расположения корней, границы которой задаются по требованиям к качеству процессов, как это показано на рис. 1.

Рис. 1

Границы области, показанной на рис. 1, задаются следующими параметрами:

• – критерий длительности переходного процесса,

• – колебательность переходного процесса, определяется по ,

• – максимальное удаление корня от мнимой оси.

Рассмотрим эти параметры.

Критерий длительности определяется как расстояние от мнимой оси до ближайшего действительного корня или ближайшей пары комплексно сопряженных корней.

Выясним, действительно ли этот параметр характеризует длительность переходного процесса? Возможны два случая расположения корней на границе области.

1. Пусть ближайшим к мнимой оси, то есть лежащий на границе области, будет действительный корень –

,

тогда соответствующая ему компонента переходного процесса, в соответствии с (1) будет иметь вид –

(3)

где - коэффициент разложения (1).

2. Если ближайшей к мнимой оси будет комплексно-сопряженная пара корней –

,

тогда соответствующая им компонента переходного процесса, в соответствии с (1) будет иметь вид –

(4)

где - частота колебаний.

Из (3) и (4) мы видим, что время затухание компоненты определяет сомножитель –

,

где – величина минимального действительного корня или минимальной действительной части корней, – соответствующая , наибольшая постоянная времени. Таким образом, можно считать, что переходный процесс системы завершится не раньше, чем затухнет компонента . Следовательно, определяет длительность переходного процесса, будучи величиной, обратно пропорциональной времени регулирования. Зная , мы можем оценить время регулирования или переходного процесса по следующему соотношению –

,

где – половина ширины области, при попадании в которую переходной процесс считается завершенным. Если , а крайний корень действительный, то имеем –

.

Критерий колебательности определяется по углу следующим образом –

.

где – соответственно действительная и мнимая части комплексно сопряженной пары корней расположенных на границе области (см. рис. 1). При увеличении возрастает колебательность системы.

Дальнюю от мнимой оси границу области , определяют корни, оказывающие предельно малое влияние на переходный процесс.

При прочих равных условиях от системы требую увеличения и снижения .

В качестве примера влияния расположения корней на характер переходных процессов покажем графики, представленные на рис. 2 и 3.

Рис. 2

Рис. 3

Если передаточная функция системы имеет нули, то оценка качества системы только по полюсам может дать существенную погрешность.

Чтобы пояснить характер влияния нулей на качество переходных процессов, представим систему следующим образом, как это показано на рис. 4.



Рис. 4

Конкретизируем задачу, пусть

,

а имеет вид, показанный на рис. 5. При этом рассмотрим два варианта графика:

• ,

• .

Из рассмотрения рис. 5 можно сделать вывод, что члены с положительными коэффициентами приводят к повышению колебательности и быстродействия, а отрицательные коэффициенты затягивают переходный процесс.

Рис. 5

В тех случаях, когда требуется получить желаемый вид переходного процесса, используют методы, основанные на связи коэффициентов характеристического уравнения системы или его корней с видом переходного процесса, с заданными динамическими показателями.

Рассмотрим характеристическое уравнение вида –

Преобразуем (5)

По формулам Виета определяется как сумма всех корней уравнения, – сумма произведений всех пар корней, – сумма произведений всех троек корней и т. д., а определяется как произведение всех корней уравнения –

.

Теперь, если мы сможем задать расположение корней на комплексной плоскости, исходя из требований качества динамики, то по формулам Виета можно найти значения коэффициентов характеристического уравнения, которые связаны с параметрами системы.

Обратим особое внимание на коэффициент , чем больше , то, при прочих равных условиях, больше действительные части корней, следовательно, быстрее переходный процесс. Если корни действительные и кратные, тогда –

.

Обозначим

где носит название среднегеометрического корня характеристического уравнения.

Тогда уравнение (6) с учетом (7) имеет вид –

На комплексной площади расположения корней характеристического уравнения определяет точку на действительной оси – геометрический центр всех корней системы, а коэффициенты определяют взаимное расположение корней. При этом легко показать, что определяют кривую переходного процесса в относительном времени , а величина определяет масштаб времени для этого процесса.

На практике рассмотренный выше подход используют следующим образом:

1. Для конкретной системы определяют требуемый вид переходного процесса.

2. Для обеспечения заданных требований выбирают из имеющихся в справочной литературе предварительно рассчитанные значения коэффициентов характеристического уравнения, тем самым выбирается "желаемое" характеристическое уравнение –

(8)

3. Определяют характеристическое уравнение по структуре и параметрам системы –

(9)

где – коэффициенты, функционально связанные с параметрами системы.

4. Получают систему алгебраических уравнений, приравняв коэффициенты уравнений (8) и (9) при одинаковых степенях оператора Лапласа –

(10)

5. Решают систему (10) относительно изменяемых параметров системы (параметров регуляторов), что позволяет определить параметры, обеспечивающие заданный вид и качество переходного процесса.

Описанный выше алгоритм часто называют методом стандартных коэффициентов или стандартного расположения корней характеристического уравнения системы управления. Рассмотрим в качестве иллюстрации два стандартных расположения корней, которые наиболее распространенны в системах управления электромеханическими приводами различных установок.

Биномиальное распределение корней

Биномиальное распределение корней используют для обеспечения заданного быстродействия при монотонности переходных процессов. Стандартное биномиальное характеристическое уравнение имеет вид –

В этом случае имеем кратных действительных корней с отрицательной действительной частью, равной . Вид переходных процессов для от 1 до 4 показан на рис. 6. Характеристические уравнения для этих случаев имеют вид –

Распределение Баттерворта

Корректным является сопоставление системы автоматического управления и идеальным фильтром низкой частоты (ФНЧ), когда для полосы пропускания системы (НЧ) требуют максимальной горизонтальности ЛАЧХ, что обеспечивает пропускание без искажений сигналов управления. Для диапазона высоких частот (ВЧ) требуют максимального подавления сигнала, так как это диапазон сигналов помех. Рис. 7 иллюстрирует приближение желаемой характеристики системы к характеристике "идеального" фильтра низкой частоты.

Распределение корней по Баттерворту обеспечивает компромисс между этими требованиями, достигая высокой равномерности в полосе пропускания НЧ при приемлемой крутизне характеристики в полосе подавления ВЧ.

Рис. 6

Рис. 7

При этом корни характеристического уравнения располагаются на комплексной плоскости, на окружности с радиусом и угловым расстоянием между корнями – , симметрично относительно действительной оси, как это показано на рис. 8.

Рис. 8

Вид переходных процессов для от 1 до 4 показан на рис. 9.

Рис. 9

Характеристические уравнения и параметры переходного процесса для этих случаев имеют вид –

Сравнение переходных характеристик показывает, что распределение Баттерворта обеспечивает более высокое, чем биномиальное распределение, быстродействие с малым перерегулированием и колебательностью.

Контрольные вопросы и задачи

1. Как объяснить влияние на переходные процессы корней характеристического уравнения?

2. Какую компоненту переходного процесса дает отрицательный действительный корень характеристического уравнения?

3. Какие компоненты переходного процесса дают комплексно сопряженные корни характеристического уравнения?

4. Что определяют корни характеристического уравнения ближе всего расположенные к мнимой оси комплексной плоскости?

5. Как связана с быстродействием системы величина среднегеометрического корня характеристического уравнения?

6. Какое влияние оказывает на переходный процесс нули передаточной функции?

7. В каких случаях следует использовать на настройки системы биномиальное распределение корней характеристического уравнения?

8. В каких случаях следует использовать на настройки системы распределение корней характеристического уравнения Баттерворта?

9. Определите коэффициенты характеристического уравнения с биномиальным распределением корней для системы управления третьего порядка, если требуемое время регулирования .

Ответ:

Желаемое характеристическое уравнение имеет вид –

.

10. Определите коэффициенты характеристического уравнения с распределением корней по Баттерворту для системы управления четвертого порядка, если требуемое время регулирования .

Ответ:

Желаемое характеристическое уравнение имеет вид –

.