Лекция 2

Преобразование Фурье

Соотношение

называют прямым преобразованием Фурье. Функция угловой частоты – называется Фурье-изображением или частотным спектром функции . Спектр характеризует соотношение амплитуд и фаз бесконечного множества бесконечно малых синусоидальных компонент, составляющих в сумме непериодический сигнал . Операция преобразования Фурье математически записывается следующим образом:

где - символ прямого преобразования Фурье.

Спектры в теории автоматического управления представляют графически, изображая отдельно их действительную и мнимую части:

На рис. 1 представлено типичное изображение спектра непериодического сигнала.

Рис. 1

Отметим следующие особенности спектра непериодической функции :

1. Спектр непериодической функции времени непрерывен;

2. Область допустимых значений аргумента спектра



3. Действительная часть спектра – четная функция частоты, мнимая часть спектра – нечетная функция, что позволяет использовать одну половину спектра

Преобразование Фурье обратимо, то есть, зная Фурье-изображение, можно определить исходную функцию – оригинал. Соотношение обратного преобразования Фурье имеет следующий вид:

или в сокращенной записи , где - символ обратного преобразования Фурье. Заметим, что временная функция имеет преобразование Фурье тогда и только тогда, когда:

• функция однозначна, содержит конечное число максимумов, минимумов и разрывов;

• функция абсолютно интегрируема, то есть

Обратное преобразование Фурье возможно только в том случае, если все полюсы - левые.

Рассмотрим примеры определения спектра временных функций.

Пример:

Найдем частотный спектр дельта-функции.

,

так как при

,

а при и

.

В итоге, имеет единичный, равномерный и не зависящий от частоты действительный спектр, а мнимая часть спектра будет равна нулю (см. рис.2).

Рис. 2

Пример:

Найдем частотный спектр единичной ступенчатой функции.

Для этой функции не выполняется требование абсолютной интегрируемости, так как

Поэтому Фурье-изображения не имеет.

Преобразование Лапласа

Соотношение

называют прямым преобразованием Лапласа. Комплексная переменная называется оператором Лапласа, где - угловая частота, - некоторое положительное постоянное число. Функция комплексной переменной называется изображением сигнала по Лапласу. Операция определения изображения по оригиналу сокращенно записывается - , где - символ прямого преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа обратимо, то есть, зная изображение по Лапласу, можно определить оригинал, используя соотношение обратного преобразования

или , где - символ обратного преобразования Лапласа.

Отметим, что преобразование Лапласа изображает исходную функцию лишь при , а поведение исходной функции при никак не сказывается на изображении. Класс функций, преобразуемых по Лапласу, значительно шире класса функций, преобразуемых по Фурье. Практически любые функции времени в ТАУ имеют преобразование Лапласа.

Получим изображения по Лапласу для импульсных функций.

,

так как при ,

, и при .

.

На практике для выполнения прямого и обратного преобразований Лапласа используются таблицы преобразований, фрагмент которой показан в табл. 1.

Таблица 1.

Таблицы преобразования Лапласа могут быть использованы для определения Фурье-изображений таких абсолютно интегрируемых функций, которые равны 0 при . Для получения Фурье-изображений в этом случае достаточно положить в изображении по Лапласу . В общем виде это выглядит как

,

если при и

Рассмотрим формулировки основных теорем преобразования Лапласа, которые широко используются в ТАУ.

1. Теорема линейности. Любое линейное соотношение между функциями времени справедливо и для изображений по Лапласу этих функций;

;

2. Теорема о дифференцировании оригинала.

Если и , то ,

где - начальное значение оригинала.

Для второй производной используют выражение

.

Для производной -го порядка справедливо следующее соотношение:

;

Для производной -го порядка при нулевых начальных условиях справедливо следующее соотношение:

;

то есть дифференцирование степени оригинала по времени при нулевых начальных условиях соответствует умножению изображения на .

3. Теорема об интегрировании оригинала.

;

Замечание

В области изображений по Лапласу сложные операции дифференцирования и интегрирования сводятся к операциям умножения и деления на , что позволяет переходить от дифференциальных и интегральных уравнений к алгебраическим. Это является главным достоинством преобразования Лапласа как математического аппарата теории автоматического управления.

1. Теорема запаздывания. Для любого справедливо соотношение

;

2. Теорема о свертке (умножении изображений).

,

где

;

3. Теорема о предельных значениях. Если , то

если существует.

Для нахождения оригинала функции по ее изображению используют обратное преобразование Лапласа. Функцию изображения необходимо представить в форме Хэвисайта, воспользовавшись необходимой формулой разложения дробно-рациональной функции. Полученную сумму простейших дробей подвергают обратному преобразованию Лапласа. Для этого можно воспользоваться таблицами преобразования Лапласа, которые определяют изображения многих временных функций. Фрагмент таблицы преобразования Лапласа приведен в табл. 1. В тех случаях, когда имеются комплексно-сопряженные полюсы изображения, необходимо преобразовать соответствующие простейшие дроби к виду, удобному для использования таблицы преобразования Лапласа. Существенно облегчает преобразование использование персонального компьютера с пакетами математических программ, содержащих функции прямого и обратного преобразований Лапласа.

Пример

Определим оригинал по изображению в виде дробно-рациональной функции

.

Используем разложение Хэвисайта для дробно-рациональной функции с одним нулевым полюсом. Тогда

.

Коэффициенты разложения имеют вид

.

Изображение в форме Хэвисайта имеет вид

.

Используем теорему о линейности и таблицу преобразований к каждому слагаемому, в результате получаем

.

График функции оригинала имеет вид, показанный на рис. 3.

Рис. 3

Кратко поясним алгоритм решения дифференциальных уравнений операторным методом на примере решения дифференциального уравнения 2 порядка в общем виде

,

где , , .

Применим теорему о дифференцировании для нахождения изображений производных

, .

Пусть , тогда

.

Получим операторное уравнение, используя теорему линейности

,

.

Решаем уравнение относительно ,

.

Найдем , используя переход к форме Хэвисайта (разложение Хэвисайта)

,

где , .

Особо следует обратить внимание на получение изображения производной ступенчатой единичной функции , которая определяется следующим образом:

Если использовать

,

то получается ошибочное решение, поэтому следует использовать называемые "левые" начальные условия

.

Справедливость этого можно легко проверить подстановкой решения в исходное дифференциальное уравнение.

Контрольные вопросы и задачи

1. Какие ограничения накладываются на прямое и обратное преобразование Фурье?

2. Как с помощью таблиц преобразования Лапласа получить частотный спектр реального сигнала – непериодической функции времени?

3. Если изображение по Лапласу имеет вид дробно-рациональной функции, в какой форме ее удобнее представлять для получения оригинала, в форме Боде или в форме Хэвисайта?

4. Определите оригинал следующего изображения по Лапласу

.

Ответ:

.

5. Определите оригинал следующего изображения по Лапласу

.

Ответ:

.

6. Найдите , решив дифференциальное уравнение

,

где .

Ответ:

.

7. Найдите , решив дифференциальное уравнение

,

где .

Ответ:

.