Лекция 18

Вычисление линейных интегральных оценок

Рассмотрим проблему вычисления интеграла линейной интегральной оценки. Можно сначала решить аналитически дифференциальные уравнения, описывающие систему, долее определить ошибку регулирования, затем подставить выражение для ошибки в интеграл линейной оценки и, взяв его, получить выражение для .

Но можно поступить и иначе.

Пусть свободное движение ошибки регулирования системы описывается уравнением

Проинтегрируем это уравнение –

После интегрирования получаем –

Подстановки верхнего предела дают члены следующего вида –

так как все производные ошибки в установившемся режиме обращаются в ноль.

Подстановки нижнего предела дают члены вида –

которые являются начальными условиями уравнения (1).

Подставив (3) и (4) в (2), получим

А так как

,

окончательно получаем

Решая (6) относительно , получим выражение для вычисления линейной интегральной ошибки –

Теперь мы может определить по коэффициентам характеристического уравнения системы и начальным условиям переходного процесса ошибки.

Для синтеза систем, определения параметров минимизирующих , следует воспользоваться обычными методами исследования функций на экстремум. Следовательно, если мы хотим определить параметр системы, на пример, параметр , обеспечивающий , необходимо решить относительно параметра следующее уравнение –

.

Рассмотрим несколько примеров использования линейной интегральной оценки.

Пример

Система имеет характеристическое уравнение

Определим выражение для , если начальные условия имеют вид –

.

Определим значение параметра , при котором интегральная оценка имеет минимум.

Решение

Обозначим –

.

Используем для нахождения выражение (7) –

Из рассмотрения (9) получаем, что в этом случае не имеет экстремума, а меньшее значение интегральной ошибки мы будем получать при меньшем значении . Действительно, ведь уравнение (8) является характеристическим уравнением апериодического звена, параметр – это постоянная времени. Переходный процесс для двух разных постоянных времени будет иметь вид, показанный на рис. 1.

Рис. 1

Пример

Система имеет характеристическое уравнение

.

Определим выражение для , если начальные условия имеют вид –

.

Определим значение параметра , при котором интегральная оценка имеет минимум.

Решение

Обозначим –

.

Используем для нахождения выражение (7) –

.

Если , то процессы монотонные, обеспечивается при наименьших и . Если , то уменьшение коэффициента затухания уменьшает линейную интегральную оценку, но это приводит к ухудшению переходного процесса, повышению его колебательности.

    При колебательных процессах в системах линейная интегральная оценка дает значительную погрешность. При этом минимум оценки может соответствовать процессу с большим числом колебаний со значительной амплитудой, малым быстродействием, так как, по сути, в оценке происходит сложение положительных и отрицательных областей площади под интегральной кривой. Это иллюстрируют рис. 2 и 3, показывая два процесса, которые могут иметь одно и то же значение линейной интегральной оценки.

Рис. 2

Рис. 3

И так как форма переходного процесса при анализе системы автоматического управления часто заранее неизвестна, то применять линейные интегральные оценки на практике нецелесообразно.

Можно попытаться использовать интеграл от модуля ошибки следующего вида –

На рис. 4 показан примерный вид кривых изменения ошибки и ее модуля. Но аналитическое вычисление интеграла от модуля ошибки по математической модели системы оказалось весьма громоздким, поэтому эта оценка широкого распространения не получила.

Рис. 4

Квадратичная интегральная оценка

В большинстве случаев, при возможности возникновения в системе колебательного переходного процесса, используют квадратичную интегральную оценку, которая имеет следующий вид –

Оценка не зависит от знака отклонений ошибки, а значит и от формы переходного процесса, монотонный, апериодический или колебательный характер он будет иметь. На рис. 5 и 6 показан примерный вид кривых изменения ошибки и квадрата ошибки.

Рис. 5

Рис. 6

Рассмотрим процедуру вычисления квадратичной оценки по математической модели системы. Система управления представляется в виде, показанном на рис. 7.

Рис. 7

Изображение по Лапласу сигнала на выходе системы имеет вид –

где - изображение по Лапласу единичной ступенчатой функции – входного сигнала системы.

Для системы автоматического управления, математическая модель которой приведена к виду (12), интегральная квадратичная ошибка определяется по следующему выражению –

где

в все элементы с индексами меньше 0 и больше заменяются 0.

Определители в (13), где , получаются заменой в определителе (14) ()-го столбца столбцом следующего вида –

.

Коэффициенты в выражении (13) определяются следующим образом –

при определении коэффициенты, индексы которых меньше 0 и больше , заменяются 0.

Контрольные вопросы и задачи

1. Какие параметры математической модели объекта требуются для вычисления линейной интегральной оценки?

2. Почему нельзя использовать линейную интегральную оценку в случае колебательного характера переходных процессов?

3. Какие интегральные оценки целесообразно использовать в том случае если в системе возможно наличие колебательных переходных процессов?

4. Дайте определение квадратичной интегральной оценке переходного процесса.

5. При минимизации квадратичной оценки, к какому виду стремится переходный процесс?

6. Какие параметры математической модели объекта требуются для вычисления квадратичной интегральной оценки?

7. Объект управления описывается передаточной функцией –

.

Вычислите линейную интегральную оценку переходного процесса при начальном значении ошибки .

Ответ:

Линейная интегральная оценка .

8. Объект управления описывается передаточной функцией –

.

Вычислите линейную интегральную оценку переходного процесса при начальном значении ошибки .

Ответ:

Линейная интегральная оценка .