Приложение 2 к лекции 9

Вывод уравнения Риккати

Решим уравнение Беллмана (9.3) для объекта управления (9.1) и функционала качества (9.2).

Наличие неинтегрального члена в составе функционала (9.2) не влияет на структуру уравнения Беллмана, если принять

(П.2.1)

где L - подынтегральная функция из (9.2).

Тогда уравнение Беллмана принимает вид

(П.2.2)

Оптимальное уравнение будем искать из условия

Выполнив дифференцирование, получим

(П.2.3)

Из (П.2.3) получаем оптимальное уравнение

(П.2.4)

Чтобы использовать выражение (П.2.4), необходимо найти функцию V(x(t),t). Для этого подставим (П.2.4) в (П.2.2):

(П.2.5)

Решение (П.2.5) при t=T должно удовлетворять условию

(П.2.6)

Общее решение будем искать в виде квадратной формы переменных состояния

(П.2.7)

где P(t)=P^T(t) - неизвестная симметричная нестационарная n x n-матрица.

Подставим в (П.2.5) выражение (П.2.7) и

Последнее слагаемое представим суммой

Тогда полученное соотношение преобразуется к виду

При любых состояниях x(t) 0 предыдущее соотношение выполняется, если

(П.2.8)

В результате получили нелинейное дифференциальное уравнение, известное под названием матричного уравнения Риккати.

Очевидно, что его решение следует искать при граничном условии

Для стационарных систем уравнение (П.2.8) становится алгебраическим:

(П.2.10)