Лекция № 9.

Тема: «Синтез оптимального управления»

В традиционной постановке задача синтеза оптимального управления в пространстве состояний предусматривает определение вектора управляющих сигналов u0(t) на основании минимизации некоторого критерия качества и формулируется следующим образом.

Для объекта управления, который описывается векторными дифференциальным и ал-гебраическими уравнениями

(9.1)

необходимо найти закон управления u0(t), при котором достигается минимум квадратичного функционала качества

(9.2)

который подробно представлен в лекции 7.

Общая математическая постановка указанной задачи приводит к уравнению Беллма-на, которое имеет следующий вид:

(9.3)

Вывод уравнения Беллмана, характеристики входящих в него переменных и функций приведены в приложении 1.

Решение уравнения (9.3) для объекта управления, который описывается векторно-матричной моделью (9.1), позволяет определить закон оптимального управления в виде

(9.4)

где , P(t) - решение матричного дифференциального уравнения Рик-кати

(9.5)

c граничным условием .

Вывод уравнения Риккати приведен в приложении 2.

В соответствии с вышеизложенным алгоритм синтеза оптимального уравнения пред-ставляет собой следующую последовательность действий:

1) построение векторно-матричной модели ОУ (9.1);

2) выбор элементов весовых матриц F, Q(t), R(t) в (9.2), при которых переходные процессы в системе управления удовлетворяют заданным требованиям;

3) решение матричного дифференциального уравнения Риккати (9.5);

4) анализ динамических характеристик в оптимальной системе управления и оценка ее качества.

Основные трудности возникают здесь при решении матричного дифференциального уравнения Риккати. Интегрирование этого уравнения удобно выполнять в обратном времени . В этом случае задача сводится к задаче Коши с начальными условиями . Ввиду симметричности матрицы P(t) уравнение (9.5) равносильно системе n(n+1)/2 обыкно-венных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с переменными во вре-мени коэффициентами.

Для стационарных систем, в которых A, B, Q, R - коэффициентные матрицы и , матричное дифференциальное уравнение Риккати вырождается в алгебраическое

(9.6)

решением которого является симметричная положительно определенная матрица Р.

Решение уравнения (9.28) для стационарных систем при и имеет предел

(9.7)

Поэтому матрицу Р можно вычислить как предельное значение решения уравнения (9.5) при достаточно большом Т.

По аналогии с (9.4) оптимальное управление определится из выражения

(9.8)

Достоверность представленных алгоритмов подтвердим практическим примером.

Пример 9.1. Для электромеханического объекта с упругой передачей механического движения от вала электродвигателя к валу рабочего механизма, численные значения пара-метров которого приведены в табл. 9.1., выполним синтез оптимального управления (9.4) и безынерционного регулятора состояния.

Таблица 9.1. Параметры электромеханического объекта

Результатом серии вычислительных экспериментов явились:

• внутреннее содержание весовых матриц Q, и R

• временные характеристики

полученные в результате решения уравнения Риккати (9.5) в обратном времени, которые приведены на рис. 9.1

Для постановки имитационных экспериментов используем приведенные в табл. 9.2 постоянные расчетные значения коэффициентов обратных связей, соответствующие t=0, и значения реализации.

Таблица 9.2. Значения коэффициентов обратных связей

Сравнительные динамические характеристики (см. рис. 9.2), систем управления, в ко-торых параметры регулятора соответствуют значениям реализации коэффициентов обратных связей (табл. 9.2) и значениям регулятора состояния, синтезированного при использовании в качестве критерия качества биномиального распределения корней (), подтвер-ждают корректность алгоритмического и программного обеспечения синтеза оптимального управления.

1. Укажите основные особенности численного решения матричного дифференциального уравнения Риккати?

2. При каких условиях матричное дифференциальное уравнение Риккати вырождается в алгебраическое?

3. Какие значения должны принимать коэффициенты обратных связей для «точной» реализации оптимального управления?