Лекция № 7.

Тема: «Критерии качества систем управления» (продолжение)

Выбор желаемого характеристического полинома с помощью среднегеометрического корня

Выражение характеристического полинома в нормированном виде может быть записано через значение среднегеометрического корня , характеризующего быстроту протекания переходного процесса:

(7.1)

где коэффициенты полинома из таблиц стандартных распределений. На рис. 7.1 и 7.2 показано влияние изменения значения на форму и качество временных и частотных характеристик (на примере фильтра Баттерворта).

Рис. 7.2. Зависимость частотных характеристик АЧХ (а) и ФЧХ (б) от среднегеометрического корня = 2...8 на примере фильтра Баттерворта

Рост способствует улучшению динамики системы за счет уменьшения времени нарастания и времени установления. Но к вопросу повышения значения среднегеометрического корня следует подходить осторожно, учитывая изменение частотных свойств системы. Необходимо найти распределение корней, позволяющее системе использовать максимально возможный диапазон частот и амплитуд задающего сигнала в области линейной зоны.

Степень характеристического полинома задает порядок синтезируемой системы. Для фильтров высокого порядка реальные АЧХ значительно улучшаются (рис. 7.2). В то же время высокий порядок связан с усложнением схемной реализации и, как следствие этого, с повышением стоимости. Кроме того, с ростом порядка системы несколько ухудшаются ее некоторые динамические показатели. Функции высокого порядка имеют более значительный затухающий процесс.

Таким образом, синтез должен предусматривает решение задачи построения системы управления минимального порядка, удовлетворяющей заданным требованиям. Правильный выбор порядка системы и расположения корней (полюсов) на комплексной плоскости является важным моментом на начальном этапе проектирования и оказывает влияние на последующую работу на этапах анализа и синтеза систем управления.

На рис. 7.3 показано сравнительное расположение корней для рассматриваемых здесь распределений 4-го порядка. При этом следует напомнить, что удаленность корня в левой полуплоскости от мнимой оси характеризует степень устойчивости системы. Для биномиального распределения характерно расположение всех корней характеристического полинома в комплексной плоскости на прямой, параллельной действительной оси, со значением модуля, соответствующего заданной степени устойчивости. Переходный процесс имеет апериодический характер.

Для других фильтров корни характеристического полинома располагаются на полуокружности в левой полуплоскости. Возможное пересечение полуокружности с действительной осью характеризует единственный действительный корень полинома, остальные корни - комплексно-сопряженные, равномерно распределенные на полуокружности.

По мере роста порядка системы вещественная часть комплексного корня уменьшается по модулю, а мнимая возрастает. А это, в свою очередь, вызывает уменьшение степени устойчивости замкнутой системы и увеличение ее колебательности. Переходные процессы для таких фильтров по сравнению с биномиальным распределением корней будут более колебательными.

Желаемое распределение полюсов проектируемой системы управления достаточно просто выбрать в среде компьютерного комплекса FuncPro. На рис. 7.5 представлено окно формирования желаемого распределения полюсов, в котором для системы 5-го порядка выбран фильтр Баттерворта, и приведены динамические характеристики эталонной модели для различных значений среднегеометрического корня.

Обобщенный функционал качества управления

Для детерминированных процессов с непрерывным временем, описываемых в пространстве состояний, функционал качества в общем случае имеет вид

(7.2)

Здесь V3 - заданная с точностью до матрицы параметров Qk скалярная функция конечного состояния - терминальная функция; L - скалярная функция, действующая из пространств состояния, управления; Q - матрица параметров зависимости L от x; R - матрица параметров зависимости L от u.

Функционал (7.2) можно назвать классическим. Он использовался в классических задачах вариационного исчисления:

• в задаче Больца, где V30, L0;
• в задаче Лагранжа, где V3=0, L0;
• в задаче Майера, где V30, L=0.

Опустим векторы параметров как аргументы функций в (7.2). Тогда функционал Больца запишется в общей форме как

(7.3)

На практике применяют частные формы классического функционала (7.3). Некоторые из этих форм рассмотрим ниже.

Классический функционал с аддитивной функцией затрат на управление

Функция L может быть представлена в виде суммы функций:

(7.4)

Функция , как правило, имеет смысл тех или иных затрат на управление. Поэтому функционал

(7.5)

называют классическим функционалом с аддитивной функцией затрат на управление.

Классический квадратичный функционал (Летова- Калмана)

Пусть все три функции V3, Q3, U3 выражаются квадратичными формами:

(7.6)

где Q_k, Q - положительно полуопределенные квадратные n x n- матрицы; R - положительно определенная квадратная r x r - матрица; Q и R могут быть нестационарными матрицами.

Напомним, что некоторую матрицу F(n x n) называют положительно полуопределенной (неотрицательно определенной), если она симметрична, то есть F=F^T, и при любом n-мерном векторе x 0 выполняется неравенство x^TFx 0.

Положительно определенная матрица F в тех же условиях обладает свойством xTFx > 0.

Соответствующий функционал

(7.7)

является классическим квадратичным функционалом.

Проанализируем смысловое содержание функционала (7.7).

Первое слагаемое в его составе характеризует ошибку управления в конечный момент времени tk и используется с целью обеспечить малость этой ошибки.

Второе слагаемое оценивает отклонения реальных переменных состояния от желаемых и представляет собой своеобразный “штраф” за большие ошибки при любом t0 t tk.

Последнее слагаемое, будучи всегда положительным, оценивает стоимость управления. Физически оно характеризует затрагиваемую энергию на управление.

Основное затруднение формирования квадратичного критерия качества связано с выбором элементов весовых матриц Q и R.

Предварительный выбор значений элементов весовых матриц Q и R. может быть осуществлен с помощью следующих рекомендаций.

1. Обычно матрицы Q и R назначаются постоянными и диагональными, т. е. матрица Q - содержит n ненулевых элементов qii, i=1, 2,..., n, а матрица R - r элементов rjj, j=1,2,...,n.

2. Принимаем, что максимально допустимые отклонения переменных состояния x(t) в любой момент времени вносят в функционал качества одинаковый вклад. Распространяя аналогичные рассуждения и на отклонения сигналов управления u(t), можно записать

(7.8)

Здесь хimax - максимально допустимое отклонение i-й переменной состояния (i=2, 3, ..., n), определяемое техническим заданием; uj max - максимально допустимое отклонение j-го сигнала управления (j=2,3, ..., r) согласно техническому заданию.

Общий вклад максимально допустимых отклонений переменных состояния должен приблизительно соответствовать общему вкладу максимально допустимых отклонений сигналов управления.

(7.9)

3. Произвольно выбираем значение r11 (например, r11=1), и по формулам (7.8), (7.9) вычисляем значения остальных коэффициентов.

Полученные значения весовых коэффициентов следует рассматривать как начальные оценки. Если отклонения по всем переменным достигают своего максимума не одновременно, формулы (7.8), (7.9) неверно отражают требования, предъявляемые к системе. Поэтому окончательный выбор весовых коэффициентов целесообразно производить после нескольких пробных процедур синтеза и моделирования системы управления.

для увеличения быстродействия эталонной модели, построенной на основе стандартного фильтра Баттерворта?

2. Поясните физический смысл составляющих классического квадратичного функционала

3. Какой формы и какого размера должны быть матрицы весовых коэффициентов Q и R., используемые для вычисления классического квадратичного функционала?

ОТВЕТЫ

№ задания	Ответ
1	Первое слагаемое - ошибка управления в конечный момент времени tk и исполь-зуется с целью минимизации этой ошибки. Второе слагаемое - отклонение реальных переменных состояния от желаемых и представляет собой своеобразный “штраф” за большие ошибки при любом t0 t tk. Третье слагаемое оценивает стоимость управления, физически характеризует за-трагиваемую энергию на управление.
2	a) оценка управляемости объекта; b) приведение векторно-матричной модели объекта управления к канонической форме управляемости;
3	Матрицы Q и R назначаются постоянными и диагональными, т. е. матрица Q (n x n) - содержит n ненулевых элементов qii, i=1, 2,..., n, а матрица R(r x r) - r элементов rjj, j=1,2,...,r.