Лекция № 12.

Тема: «Наблюдатель состояния пониженного порядка»

Для получения рациональной оценки координат вектора состояния при отсутствии шумов в измерениях Люенбергером был предложен метод, позволяющий восстанавливать только требуемые переменные вектора состояния системы.

Рассмотрим линейную наблюдаемую стационарную систему

(12.1)

в которой y(t) - m- мерный вектор выходных координат, причем m < n и rang C=m, т.е. имеется m линейно независимых уравнений для определения m переменных вектора состояния по вектору выхода y(t). Следовательно, порядок наблюдателя может быть снижен до (n - m).

Предположим, что оценка вектора состояния системы может быть выполнена с помощью фильтра (n - m)-го порядка

(12.2)

где z(t) - (n - m)- мерный вектор состояния; F, G1, G2 - матрицы с размерами (n - m)x(n - m), (n - m)x m , (n - m)x z соответственно.

Определим условия, которым должны удовлетворять матрицы F, G1, G2 фильтра (12.2). Допустим, что параметры фильтра можно подобрать такие, чтобы

(12.3)

Умножим обе части уравнения (12.2) слева на матрицу Т, тогда с учетом (12.1) получим

(12.4)

(12.5)

Из равенств (12.4), (12.5) следует

(12.6)

Оценку вектора состояния будем искать в виде

(12.7)

где Н и G -матрицы с размерами n x(n - m) и (n x m) соответственно.

Потребуем выполнение условия , т.е.

(12.8)

откуда следует, что

(12.9)

где I - единичная матрица.

Элементы пяти матриц: F, G1, G2, G, H, связанные уравнениями (12.6), (12.9), могут выбираться до некоторой степени произвольно.

Векторно-матричная модель системы управления с наблюдателем Люенбергера при имеет следующий вид:

(12.10)

или

(12.11)

Наблюдатель Люенбергера не изменяет полюсы замкнутой системы управления, а лишь добавляет к ним свои собственные.

Таким образом, синтез наблюдателя пониженного порядка может выполняться по следующему алгоритму.

1. Проверить наблюдаемость исходной системы с определением индекса наблюдаемости m.

2. Выполнить анализ матрицы состояния А объекта управления с определением корней характеристического уравнения.

3. Выбрать матрицу F таким образом, чтобы обеспечить требуемое время переходного процесса в наблюдателе.

4. Произвольно задать матрицу G1, соблюдая при этом выполнение условия управляемости фильтра (12.2) по вектору y(t), т.е. необходимо, чтобы

где p=n - m .

5. Решить матричное уравнение относительно Т.

6. Вычислить матрицу .

7. Вычислить матрицы Н и G из уравнения (12.9).

Общая схема системы управления с наблюдателем пониженного порядка будет иметь вид, представленный в среде компьютерного комплекса FuncPro 1.0 на рис 12.1.

Компьютерная реализация указанного алгоритма позволяет конструировать наблюдатели координат, измерение которых затруднено или практически невозможно. Так, например, для построения системы управления электромеханического объекта с упругой передачей механического движения от вала электродвигателя к валу рабочего механизма требуется измерение упругого момента. Проще и эффективнее здесь использовать вычислительное устройство, построенное как наблюдатель первого порядка, а координаты тока, скоростей электродвигателя и механизма регистрировать с помощью датчиков.

Таблица 12.1. Параметры электромеханического объекта

Выполнение отмеченной процедуры для электромеханического объекта с параметрами, приведенными в табл. 12.1., приводит следующим результатам.

Корректность полученных результатов подтверждают динамические характеристики системы с регулятором состояния и наблюдателем упругого момента, приведенные на рис. 12.2.

Регулятор состояния здесь синтезирован при использовании в качестве критерия качества биномиального распределения корней (=8.5 с-1).

1. Какая матрица определяет требуемое время оценки неизмеряемых компонент вектора состояния системы с помощью наблюдателя Люенбергера?

2. Из каких условий выбирается матрица G₁ фильтра необходимого для синтеза наблюдателя Люенбергера?

№ задания	Ответ
1	Матрицы F
2	Матрицу G1 можно задавать произвольно, соблюдая при этом условия управляе-мости фильтра (12.2) по вектору y(t), т.е. необходимо, чтобы где p=n - m