Алгоритмические модели динамических систем

Для рассмотрения алгоритмов преобразования моделей, формируемых пользователем (СМФУ, СММУ), необходимо ознакомиться с возможными вариантами представления алгоритмических моделей.

Проблемы, возникающие при компьютерной реализации СММУ, связаны, во-первых, с необходимостью автоматизированного формирования корректной системы дифференциальных, алгебраических и логических уравнений и, во-вторых, с последующим ее представлением в виде дерева элементарных вычислительных операций.

Решение проблем первого направления требует более детализированного представления структурной модели с одновременной ориентацией на вычислительную систему и на исследователя. Этим требованиям применительно ко всем видам СММУ отвечают средства описания моделей с помощью многоуровневых N-графов [7,8].

Решение проблем второго направления осуществляется либо численным интегрированием полученной системы уравнений, либо путем формирования алгоритмической модели, в которой все интеграторы заменены деревом вычислительных операций, соответствующим выбранному методу численного интегрирования.

Рассмотрим особенности детализированного представления структурных моделей с помощью N-графов. В общем случае сигнал в i-узле графа в момент времени tn определяется выражением

Здесь fU - некоторая операция преобразования сигналов xk, входящих в узел; fW - некоторая операция преобразования сигнала xi с помощью k-й ветви, инцидентной i-му узлу; m - число ветвей, инцидентных узлу стока i.

Наличие элементов первого и второго уровней языка N-графов [7,8] обусловливает существование двух уровней детализированных форм структурных моделей. Детализированная форма первого уровня использует базовые операции: суммирование, умножение, деление, логические "и", "или", сравнения "больше", "меньше", "равно", операцию "переключение", в узлах N-графа и операции пропорционального преобразования, интегрирования, задержки на интервал дискретности и отрицания.

Определения и графическое представление алгебраических базовых операций в узлах N-графа приведены в табл. 4.1. Графические представления узлов, осуществляющих логические базовые операции, используют общепринятые символы этих операций, а именно

При необходимости номера ветвей, входящих в эти узлы, указываются в разрыве ветви. Например

Графические представления и определения базовых операций в ветвях приведены в таблице 4.2.

Таблица 4.1.
Наименование узла Определение Графическое представление
1 Суммирование
2 Умножение
3 Деление
4 Переключение


Таблица 4.2.
Наименование ветви Определение Графическое представление
1 Пропорциональное
преобразование
2 Интегрирование
3 Задержка на
интервал
дискретности
4 Операция НЕ

Данный уровень характеризуется наивысшей степенью детализации для структурных моделей, построенных в форме замкнутого N-графа, и является детализированной формой СММУ.

Нетрудно заметить, что построение структурных моделей при использовании только указанных выше элементов сопряжено с трудностями формирования N-графов даже для простейших нелинейных математических операций. Например, N-граф простейшего нелинейного звена типа "Люфт" содержит 10 узлов и 14 ветвей (см. рис. 4.1).

Замкнутый N-граф, построенный с использованием макроветвей и макроузлов, будем считать детализированной формой второго уровня.

Продолжение рассмотрения алгоритмов формирования вычислительных моделей невозможно без определения основных требований к средствам проведения вычислительных экспериментов со структурными моделями и направлений их компьютерной реализации. В качестве требований отметим следующее.

  1. Должна быть предоставлена возможность выполнения вычислительного эксперимента в одном и следующих режимах:
  2. Программно-аппаратные средства реализации вычислительного эксперимента должны обеспечивать получение достоверной информации обследуемой системы за минимальное время, что соответствует необходимости обеспечения численной устойчивости, требуемой точности и максимального быстродействия.

Нетрудно заметить противоречивость приведенных требований. Например, обеспечение работы в интерактивно-управляемом режиме сопряжено со значительным снижением быстродействия вычислительного эксперимента. Это объясняется следующими основными причинами. Во-первых, непрерывный вывод на экран дисплея графической информации в большинстве случаев превышает время выполнения вычислительных операций. Во-вторых, предоставление возможности изменения параметров и структуры модели не целесообразно при использовании алгоритмической модели наивысшего уровня детализации, так как в этом случае любая корректировка влечет за собой полную перекомпиляцию модели и, следовательно, делает невозможным продолжение эксперимента с момента прерывания. Поэтому для реализации интерактивно-управляемого режима значительную часть работ по формированию дерева вычислений (алгоритмической модели) необходимо выполнять в ходе вычислительного эксперимента на каждом шаге дискретизации процессов во времени, что естественно приводит к увеличению затрат времени на вычислительный эксперимент.

Поэтому имеют место два направления компьютерной реализации постановки вычислительных экспериментов.

Программные средства первого направления на основании детализированной формы СММУ обеспечивают автоматическое формирование системы дифференциальных, алгебраических и логических уравнений, их сортировку и численное интегрирование одним из выбранных методов. Формирование и сортировка уравнений осуществляется на этапе планирования эксперимента, и повторяются лишь при интерактивной корректировке структуры модели. Результатом этого этапа, выполняемого в компилирующем режиме, является вычислительная модель табличной формы, обеспечивающая необходимую параметрическую корректировку, которая возможна за счет последующей работы программ в интерпретирующем режиме, когда обращение к массивам параметров модели осуществляется на каждом шаге интегрирования. Т.е. программные средства первого направления работают в комбинированном компилирующе-интегрирующем режиме.

Программные средства второго направления осуществляют автоматическое формирование разомкнутой алгоритмической модели, представляющей собой дерево вычислений, генерацию программы имитации в виде загрузочного модуля ( с расширением _.ехе) и выполнения этой программы. Т.е. здесь имеет место компилирующий режим работы.

Алгоритмы построения детализированных форм и алгебраических моделей рассмотрим после введения нетрадиционных средств описания динамических систем.

Представления моделей динамических систем методом структурных матриц

Аппарат структурных матриц, предложенный Л.Г. Шатихиным [11], позволяет в определенной степени объединить достоинства матричных методов и средств структурного представления динамических систем.

Определение структурной матрицы

Рассмотрим абстрактную алгебраизированную модель системы управления, представленную на рис. 4.2, а в форме графа, которому соответствует следующая система алгебраических уравнений:

(4.1)

Представим указанный граф на матричной сетке (рис. 4.2, б). Внутренние вершины графа изобразим в порядке следования на главной диагонали в квадратной части матрицы. Внешний узел x0 расположим над отдельным столбцом. Вместо дуг, соединяющих узлы, поставим угловые стрелки, которые изображают передачу между соответствующими диагональными элементами. Все это полностью отражает архитектонику графа.

Далее выполним следующие преобразования (см. рис. 4.2, в):

На полученном матричном изображении можно выделить те же три контура, которые имеются на графе. Контуры выделяются в соответствии с направлениями стрелок на рис. 4.1, б или в соответствии с индексами коэффициентов aji.

Знаки прямых и обратных связей на графе и в матрице совпадают. Таким образом, полученная матрица (рис.4.2, в) полностью отражает структуру системы управления, представленную графом (рис. 4.2, а), так как она имеет тот же состав элементов и связей между ними, что и на графе. Такую матрицу принято называть структурной матрицей системы [11].

В общем случае на главной диагонали структурной матрицы вместо единиц ставят их обозначения, принятые в матричной форме, то есть ajj. В результате получается окончательный вид структурной матрицы (рис.4.2, г).

Рассмотрим возможности применения структурных матриц для представления моделей динамических систем, а также для формирования детализированных форм и алгоритмических моделей.

При изображении математических моделей линейных непрерывных динамических систем в форме структурных матриц на главной диагонали размещаются собственные операторы передаточных функций Ajj(s), а ниже и выше главной диагонали - операторы Bji(s) связей между динамическими элементами. Операторы связей располагаются на пересечении столбца исходного j-го собственного оператора и строки конечного i-го собственного оператора. В соответствии с этим, структурная матрица простейшей системы, представленной на рис. 4.3 в виде направленного графа, принимает вид, указанный на рис 4.4., а, б.

Для представления детализированных форм описания линейных непрерывных моделей методом структурных матриц необходимо рассмотрение "внутренней структуры" каждого динамического звена.

То есть каждое звено необходимо представить в виде фрагмента структурной матрицы, в котором отдельные строка и столбец выделяются не только для каждой переменной или координаты, но и для каждой их производной. Причем диагональные элементы могут принимать только два значения: 1 или s (оператор Лапласа). Структурные матрицы, отвечающие этим требованиям, будем называть детализированными структурными матрицами.

Алгоритмизация получения таких матриц легко осуществляется с помощью методов представления передаточной функции n-го порядка в виде системы, включающей n дифференциальных уравнений первого порядка и одно алгебраическое выражение [2].

На рис.4.4 в качестве примера приведены различные формы представления математических моделей колебательного звена, в том числе и в виде детализированной структурной матрицы

Для нашего примера детализированная структурная матрица системы показана на рис. 4.5, в.

Сравнительный анализ двух вариантов представления структурных матриц системы (рис. 4.5, б, в) позволяет сформулировать алгоритм построения детализированной структурной матрицы

  1. Диагональные элементы исходной структурной матрицы, представляющие собой знаменатели передаточных функций Aii(s) линейных динамических звеньев, единичные коэффициенты описания нелинейных макроветвей, или обозначения нелинейных макроузлов, замещаются импортированными из соответствующих библиотек фрагментами детализированных структурных матриц.
  2. Недиагональные элементы, соответствующие числителям передаточных функций Bji(s), или идентификаторам нелинейных макроветвей, замещаются входными столбцами импортированных фрагментов структурных матриц.
  3. Проверяются и, при необходимости, изменяются месторасположения коэффициентов безынерционных связей.
Рейтинг@Mail.ru